In dieser kurzen Theorieeinheit geht es um wichtige Details bei Fachwerken. Nämlich um die Fragen, was Nullstäbe sind, wie wir diese bestimmen und wozu das gut sein soll. Es gibt dazu drei einfache Regeln, die wir im Video besprechen werden. Außerdem ist wichtig zu wissen, dass uns Nullstäbe zwar die Berechnung des Fachwerks erleichtern, aber aus dem realen Fachwerk nicht einfach entfernt werden dürfen. Warum das so ist und wie das mit den Nullstabregeln funktioniert könnt ihr euch gerne selbst ansehen.
Wenn Fragen offen bleiben, melde dich bitte jederzeit gerne in den Kommentaren und lass mir dort auch Wünsche und Verbesserungsvorschläge da.
Wie behandeln wir einen Winkelträger in Kombination mit einer Streckenlast? Im Grund wissen wir das bereits aus vergangenen Beispielen. Wir müssen lediglich die drei Konzepte Gleichgewichtsbedingungen, Streckenlast und Gerberträger miteinander kombinieren. Genau das wollen wir hier tun. Es geht dabei um folgendes Beispiel:
Die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C des Tragwerks aus Balken und Winkelträger sind zu bestimmen. Geg.: q,l
Quelle: Aufgabe 6.75 (S. 352) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Auch in diesem Fall eines Winkelträgers können wir wie im Beispiel zum Gerberträger besprochen, das System an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte für den oberen und den unteren Teil anschreiben. Für diese beiden Teile lassen sich jeweils die Gleichgewichtsbedingungen (Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht) anschreiben und schließlich alle unbekannten Größen berechnen. Zum Schluss diskutieren wir noch den auftretenden Zweikraftstab zwischen B und C. Den kompletten Rechenweg im Detail findest du wie gewohnt im verlinkten Video! Viel Spaß und aufschlussreiche Erkenntnisse damit!
Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.
Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.
Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.
Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r
Bestimme: *die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0. *die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.
Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!
Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.
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Wir möchten uns in diesem Beitrag einen 2fachen Gerberträger ansehen, d.h. einen Gelenkbalken mit zwei Gelenken laut folgender Angabe.
An einem Gelenkbalken ist unmittelbar rechts vom Gelenk G1 ein Querarm angeschweißt, der durch ein Kräftepaar belastet wird. Außerdem greift unmittelbar rechts vom Gelenk G2 eine Kraft P an.
Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Gelenkkräfte? Wie ändern sie sich, wenn die Kraft P unmittelbar links vom Gelenk G2 angreift?
Quelle: Aufgabe I.4.8 (S. 23) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Wir können wie schon in den anderen Beispielen zum Gerberträger besprochen, den Träger an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte anschreiben. Hier erhalten wir also drei Einzelteile. Für jedes davon lassen sich die drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Eine Besonderheit hier ist, dass wir sofort sehen, dass es keine Kräfte in Horizontalrichtung geben wird. Wir können also das horizontale Kräftegleichgewicht gleich von Beginn an weglassen. Anschließend sehen wir, dass sich aus den jeweiligen Teilstücken sofort die Unbekannten Größen berechnen lassen, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen. Zumindest dann, wenn die Reihenfolge der Berechnung an den Teilsystemen klug gewählt wird. Zum Schluss besprechen wir noch die Eingangs gestellte Frage: Macht es einen Unterschied ob die äußere Kraft P unmittelbar rechts oder links von G2 liegt. Diese Frage beantworten und natürlich den kompletten Rechenweg im Detail diskutieren wir im verlinkten Video! Ganz viel Spaß damit!
Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.
Diesmal habe ich eine Variation eines schon gerechneten Lagrange-Beispiels für euch, nämlich ein physikalisches Einfachpendel an einer vertikalen Feder.
Ein homogenes Stabpendel der Masse M und der Länge 2L ist an seinem Drehpunkt vertikal federnd aufgehängt. Die Federkonstante beträgt c. Die Erdbeschleunigung wirkt vertikal nach unten und das System bewegt sich nur in der Blattebene.
Bestimme für dieses System: *die kinetische Energie T und die potentielle Energie V sowie die Lagrange Funktion, *die Bewegungsgleichungen, *die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen, *die Bedingung für die Übereinstimmung der Eigenfrequenzen von Translations- und Rotationsschwingung.
Wir benötigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu können. Die Koordinaten des Aufhängepunktes sind, wie auch im Beispiel zum federnd aufgehängten Doppelpendel, nicht notwendig, obwohl sich dieser natürlich bewegt. Allerdings hat auch hier die Feder in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und trägt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Damit können wir bereits kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion hinschreiben. Über die wohlbekannten Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen. Eine für den Pendelwinkel und eine für die Federauslenkung. Am Ende sehen wir uns noch die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen an und stellen fest, dass es auch dort Kopplungen gibt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
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Diesmal gibt es ein etwas komplexeres Beispiel in dem wir einen Gerberträger unter anderem mit einer Streckenlast beaufschlagen wollen.
Für den dargestellten Gerberträger sollen die Lagerreaktionen und die Gelenkkraft bestimmt werden.
Quelle: Aufgabe I.4.7 (S. 22f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Wir ersetzen als ersten Schritt die Streckenlast durch ihre resultierende Einzellast. Dann erstellen wir ein Freikörperbild in dem wir den Träger am Gelenk trennen und damit ein linkes und rechtes Teilsystem erhalten. Hier ist es allerdings auch hilfreich zuerst das Gesamtsystem anzusehen. Daraus erhalten wir in diesem Fall nämlich die horizontale Komponente der Lagerkraft in A und können schließen, dass die horizontalen Anteile der Gelenkskräfte verschwinden müssen. Das erleichtert uns bereits die Rechnung. Dann werden Kräfte- und Momentengleichgewichte am linken Teilsystem aufgestellt und damit ein Teil der Unbekannten berechnete. Für das rechte Teilsystem gehen wir dann den Weg zweier Momentengleichgewichte – natürlich um unterschiedliche Punkte. Auch das ist möglich, wie wir im Video besprechen. Damit lassen sich dann auch noch die restlichen Unbekannten berechnen. Die Details findest du wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß beim Ansehen!
Wenn Fragen oder Unklarheiten auftauchen, freue ich mich jederzeit über deinen Kommentar – entweder hier oder direkt auf YouTube.
Wir besprechen heute in der Theorie, wie sich beliebige Streckenlasten in äquivalente Einzellasten umrechnen lassen. Dies ist insofern wichtig, als sich mit Einzellasten oft einfacher arbeiten lässt. Wenn einmal bekannt ist, wie eine solche Umrechnung funktioniert – nämlich über Fläche unter Streckenlast und Schwerpunkt der Streckenlast – dann sind wir in der Lage jede beliebige Streckenlast in eine Einzellast umzurechnen. Schließlich diskutieren wir zur Veranschaulichung noch, wie das ganze an einer dreiecksförmigen Streckenlast funktioniert. Das Video dazu erklärt wie gewohnt sämtliche Details!
Sollte dennoch Fragen offen bleiben dann freue ich mich auf deinen Kommentar. Wenn du sonst Wünsche, Anmerkungen oder ähnliches hast bitte ebenfalls gerne melden.
Heute sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, wie wir einerseits mit Stäben und Stabkräften umgehen und andererseits eine dreiecksförmige Streckenlast in unsere Rechnung mit einbeziehen. Die Angabe für dieses Problem lautet kurz und knackig folgendermaßen:
Ein Balken unter Dreiecksbelastung wird von drei Stäben gestützt. Wie groß sind die Stabkräfte?
Quelle: Aufgabe I.4.1 (S. 20f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Das Freikörperbild ist auch hier unser zentraler Zugang zur Lösung des Problems. Wir ersetzen dabei, wie in der Theorie besprochen, die dreiecksförmige Streckenlast gegen eine äquivalente Einzellast. Dann müssen wir uns noch Gedanken zu den Stabkräften machen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass idealisierte Stäbe nur Kräfte in Längsrichtung (Zug & Druck), aber keine Kräfte quer zum Stab aufnehmen können. Schließlich bestimmen wir noch über die Geometrie den Winkel der beiden Stäbe 1 und 3. Mit diesen Zutaten lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen problemlos aufstellen und das System aus 3 Gleichungen anschließend lösen. Im Detail besprechen wir den Lösungsweg wieder im verlinkten Video.
Wenn Fragen oder Unklarheiten auftauchen, freue ich mich jederzeit auf eure Kommentare – entweder hier oder direkt auf YouTube.
Wir sehen uns hier einen Klassiker der Lagrange-Mechanik, nämlich das mathematische Doppelpendel, mit einer vertikal federnden Aufhängung an. Das ist auch insofern ein gutes Beispiel für Lagrange-Mechanik, als es sich um insgesamt drei Freiheitsgrade handelt.
Ein mathematisches Doppelpendel ist mittels einer Feder am Koordinatenursprung aufgehängt. Die Pendelmassen seien jeweils m und die Pendellängen l. Die Federkonstante betrage c und die Feder sei in der Position r = r0 vollkommen entspannt.
Ermittle für dieses System: (a) die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. (b) die Lagrange Funktion L. (c) die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten. (d) die Periodendauer T des Systems, wenn die Pendelwinkel durch ein technisches Gebrechen plötzlich fixiert werden, d.h. φ = φ0 = const. und ψ = ψ0 = const.
Wir benötigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu können. Die Koordinaten des Aufhängepunktes sind nicht notwendig, obwohl sich dieser natürlich bewegt. Allerdings hat er in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und trägt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Anschließend können wir kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion berechnen. Damit lassen sich über die Euler-Lagrange-Gleichungen drei gekoppelte Bewegungsgleichungen für die beiden Pendelwinkel und die Federauslenkung ableiten. Als Spezialfall betrachten wir dann noch die Bewegung für die Federauslenkung r wenn die beiden Pendelwinkel fixiert werden. Dabei handelt es sich dann direkt um eine Linearisierung und wir können Eigenkreisfrequenz und Periodendauer bestimmt werden. Alle Details inkl. weiterer Diskussionen gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
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Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.
Das abgebildete Pendel besteht aus einer Vollkugel mit Radius r und Masse mK und einem schlanken Stab mit Länge l und Masse mS. Ein Ende des Stabes ist in A mit Abstand r zur Wand frei drehbar gelagert. Das Pendel wird in der Winkellage θ=θ1 aus der Ruhe freigegeben. Die Stoßziffer ist ε.
Geg.: mK=50kg,mS=20kg,l=2m,r=0.3m,ε=0.6,θ1=0∘
Bestimme den Winkel θ=θ2, bis zu dem das Pendel zurückschwingt nachdem es an der Wand angestoßen ist.
Quelle: Aufgabe 8.52 (S. 582) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 2012 Pearson Deutschland GmbH
Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.
Wir können in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar vor dem Stoß mittels Energieerhaltung sehr einfach berechnen. Für den Stoßvorgang selbst ist dann nur noch die Newton’sche Stoßhypothese – also das Verhältnis aus relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwindigkeit – relevant, sowie eine kinematische Überlegung aus der wir die Geschwindigkeiten am Stoßpunkt selbst erhalten. Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Zum Schluss können wir dann wieder Energieerhaltung anwenden und damit bestimmen wie weit das Pendel zurückschwingt. Schritt für Schritt und anschaulich erklärt gibt es das ganze wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.
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