Diesmal besprechen wir, warum es hilfreich sein kann mit Vektoren bei der Berechnung von Kraftsystemen zu arbeiten.
Gegeben seien laut Skizze die beiden Kräfte F1=8N und F2=10N, sowie die Koordinaten der Punkte A(0|6|0)m, B(6|4|0)m, C(3|1|2)m. F2 zeige in die positive z-Richtung.
Reduziere das Kraftsystem in den Ursprung des gegebenen Koordinatensystems, d.h. berechne den resultierenden Kraftvektor R, den resultierenden Momentenvektor M_R(0) und den Betrag des Kraftvektors |R|.
Wir sehen, dass zuerst die beiden Kraftvektoren F1 und F2 zu bestimmen sind. Dazu müssen wir die jeweils relevanten Einheitsvektoren berechnen. Dann kann die resultierende Kraft als Vektorsumme von F1 und F2 und das resultierende Moment aus dem Kreuzprodukt bestimmt werden. Wie das genau funktioniert sehen wir uns im verlinkten Video an.
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Wir besprechen diesmal wieder ein Beispiel zum statischen Gleichgewicht. Es soll eine Walze mit minimaler Kraft über eine Stufe hochgezogen werden.
Eine glatte Walze mit der Gewichtskraft G und dem Radius r soll reibungsfrei eine Stufe der Höhe h hochgezogen werden.
Welche Richtung muss die dazu erforderliche Kraft F haben, damit sie möglichst klein ist? Wie groß ist dieser Minimalwert?
Quelle: Aufgabe I.1.2 (S. 13) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Die Idee in diesem Beispiel ist sehr simpel. Wir suchen nach jenem Winkel der Kraft F zur Horizontalen, der ein Hochheben der Walze ermöglicht und gleichzeitig die minimale Gesamtkraft ergibt. Kraft und Winkel lassen sich ganz einfach mittels Kräftegleichgewicht berechnen. Die Details sehen wir uns wie gewohnt im verlinkten Video an.
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Wir wollen unser Wissen über das statische Gleichgewicht nun einmal auf ein konkretes Problem anwenden: das Entfernen eines Nagels aus einer Wand.
Um einen Nagel aus der Wand zu ziehen ist eine Kraft F erforderlich. Bestimme die kleinste vertikale Kraft P, die auf den Griff des Nageleisens ausgeübt werden muss.
Geg.: F, a, b, d, α, β
Quelle: Aufgabe 4.163 (S. 222) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Oft ist der wichtigste Schritt zur Lösung eines Problems die grundsätzliche Idee. In diesem Beispiel ist die grundsätzliche Idee Momentengleichgewicht im Punkt A. Dieses Momentengleichgewicht sorgt – in Analogie zum klassischen Hebelgesetz – dafür, dass die Nagelkraft F genau durch die Handkraft P aufgehoben wird. Ein wenig mehr Handkraft und wir können den Nagel herausziehen. Die Details rechne ich wieder im verlinkten Video vor.
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Diesmal geht es darum zu zeigen, dass auch Momente wie reguläre Vektoren behandelt werden können. Insbesondere können wir sie auf bestimmte Achsen projizieren.
Der Hauptträger einer pfeilförmigen Flugzeugtragfläche ist um den Winkel α gegen die x‘-Achse nach hinten geneigt. In Lastberechnungen wurde ermittelt, dass am Träger die Momente Mx und My angreifen.
Bestimme das resultierende Moment um die x‘- und y‘-Achsen. Alle Achsen liegen in der gleichen horizontalen Ebene.
Quelle: Aufgabe 4.89 (S. 209) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Hier soll bestimmt werden welche Momente parallel bzw. normal zum Hauptholm einer Flugzeugtragfläche wirken. Dazu können die bekannten Momentenvektoren einfach regulär projiziert werden. Es ergibt sich also jeweils ein Anteil von Mx und My sowohl entlang x‘ als auch entlang y‘. Dies ist sehr einfach berechnet, wie ihr im unten verlinkten Video sehen könnt. Viel Spaß beim Nachvollziehen!
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In diesem Beitrag sehen wir uns ein etwas komplizierteres Beispiel zur Kraftreduktion an. Nämlich einen Ski auf dessen Bindungsbacken sowohl Kräfte als auch Momente wirken.
Die Bindungsbacken eines Skis werden mit den Kräften und Momenten Ft = {−50ex+80ey−158ez} N, Fh = {−20ex + 60ey − 250ez} N, Mt = {−6ex + 4ey + 2ez} Nm und Mh = {−20ex + 8ey + 3ez} Nm belastet. Die gegebenen Abstände sind a=120mm und b=800mm.
Bestimme die äquivalente Kraft und das äquivalente Moment im Punkt P. Schreibe das Ergebnis als kartesischen Vektor an.
Quelle: Aufgabe 4.170 (S. 223) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Im Gegensatz zu einem Zentralkraftsystem muss hier auch ein resultierendes Moment im Reduktionspunkt auftreten. Nur dann ist es möglich ein äquivalentes mechanisches System zu erhalten. Dazu müssen sowohl die Kraftvektoren addiert werden, als auch die Einzelmomente aus den Kräften und eingeprägten Momenten errechnet werden. Die detaillierte Rechnung dazu findet ihr wie üblich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß dabei!
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Wir berechnen hier zuerst die Komponenten der einzelnen Kräfte in x- und y-Richtung und bestimmen daraus die Komponenten der resultierenden Kraft. Anschließend bauen wir den Vektor der Resultierenden aus den beiden Komponenten zusammen. Zum Schluss berechnen wir noch den Winkel der Resultierenden zur x-Achse. Nebenbei diskutieren wir noch wichtige Punkte bei der Reduktion eines solchen Kraftsystems bzw. allgemein bei der Lösung von Beispielen aus der technischen Mechanik. Die Details dazu gibt es wie immer im verlinkten YouTube Video zu sehen.
Ich hoffe diese erste Aufgabe zur Statik war verständlich und hilfreich. Wenn es Fragen oder Anregungen gibt, bitte schreibt einen Kommentar und ich antworte gerne.
In diesem Beispiel zur Relativkinetik geht es um eine Kugel die zwischen zwei parallelen Platten gleiten kann, während die Platten selbst um die vertikale Achse rotieren.
Zwei parallele, starre Platten rotieren mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω um die raumfeste vertikale z-Achse. Zwischen den Platten kann reibungsfrei eine kleine Kugel (Masse m) gleiten.
Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen des Kugelschwerpunktes in den Koordinaten q1 und q2, sowie die auf Kugel wirkenden Kräfte.
Quelle: Aufgabe D34 (S. 356) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Wir beginnen hier mit der Berechnung des Ortsvektors der Kugel. Anschließend lassen sich die benötigten Geschwindigkeits- und Beschleunigungsterme bestimmen, nämlich Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung sowie Führungs- und Coriolisbeschleunigung. Mittels Schwerpunktsatz können wir schließlich die Bewegungsgleichungen des Systems und die auf die Kugel wirkende Normalkraft bestimmen. Die Rechenschritte im Detail, besprechen wir ausführlich im YouTube Video.
Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.
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In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.
Einleitung Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.
Beispielerklärung Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.
Berechnung des Integrals Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.
Zusammenfassung Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
Heute sehen wir uns wieder einmal ein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert an.
Eine Platte der Masse M ruht auf zwei Walzen, die jeweils die Masse m und den Radius r besitzen. Die linke Walze ist als Vollzylinder, die rechte als dünnwandiger Hohlzylinder ausgeführt.
Ges.: *Bestimme die Beschleunigung der Platte unter der Annahme, dass kein Gleiten auftritt, mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert.
Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download inkl. Endergebnissen, damit ihr das Beispiel vorab selbst rechnen könnt.
Diese rechnerisch eher kurze Aufgabe eignet sich sehr gut dazu das Prinzip von d’Alembert genauer zu erklären. Wir diskutieren also welche Beiträge es gibt und woher diese kommen. Außerdem klären wir was es mit den d’Alembert’schen Trägheitstermen und Trägheitskräften auf sich hat. Im Zuge dessen rechnen wir selbstverständlich auch die gefragte Beschleunigung des Brettes aus. Das und noch einiges mehr gibt es wieder im verlinkten YouTube Video zu sehen. Viel Spaß damit!
Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.
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Diesmal besprechen wir was es mit Vektorfeldern auf sich hat und wie wir diese ableiten können. Felder haben eine wichtige Bedeutung in der Technischen Mechanik beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Daher ist es auch wichtig zu wissen was Felder sind und wie wir sie behandeln müssen.
Einleitung Wie wir Ableitungen von Vektoren bilden, haben wir uns im letzten Beitrag angesehen. Heute wollen wir einen Schritt weitergehen und uns ansehen, wie wir eine Ableitung von einem Vektorfeld durchführen können.
Beispielerklärung Konkret haben wir es hier mit einem Vektorfeld A zu tun und einem Skalarfeld Psi. Was Felder genau sind, werden wir dann bei den Materialgesetzen noch diskutieren. Nur kurz als Teaser: Ein Feld ist ein Vektor, der an jeder Stelle im Raum eine andere Orientierung haben kann. Also im Allgemeinen ein Vektor der hier von den Raumkoordinaten abhängt. Beim Skalarfeld ist es genau das gleiche, nur dass dieses eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, aber eine andere Größe hat, je nachdem wo im Raum wir uns befinden. Wir wollen also hier von diesen beiden Feldern die konkrete Ableitung hier bestimmen, nämlich die zweite gemischte Ableitung nach Ypsilon und z. Von dem Produkt Skalarfeld mal Vektorfeld. Und zwar wollen wir das Ganze dann auch in einem speziellen Punkt machen. Vorerst aber einmal einfach allgemein. Wie sieht das Ganze konkret aus?
Berechnung der Ableitung Das Ergebnis wird, wenn wir uns das genauer ansehen, ein Vektor werden und ich nenne diesen Vektor K. Wir bestimmen also den Vektor K als zweite gemischte Ableitung dy dz vom Produkt Psi Skalarfeld mit dem Vektorfeld A. Am Ende wollen wir das Ganze auch noch in einem bestimmten Punkt ausrechnen, nämlich im Punkt P eins, zwei und eins. Wie machen wir das? Wir schreiben einfach hin: K ist als Vektor dann nichts anderes als diese gemischte Ableitung, d zwei dy dz vom Produkt Psi mit A. Das Produkt Psi mit A ist einfach dieses Psi auf jede Komponente von A drauf multipliziert. So wie wir das in der Theorie diskutiert haben. Das heißt, wir bekommen hier 6 x^4, ein x kommt vom Psi. Ypsilon ebenfalls der vierten. Hier haben wir y quadrat im Psi, mal z auch aus dem Psi. Das ist die x Komponente und analog für y und z einfach die Komponenten von Psi dazu multipliziert. Also x, y^4, z^2 in y-Richtung und minus x^2 y^2, z^3 in z-Richtung. Das ist einmal unser Produkt. Und davon müssen wir jetzt die gemischte Ableitung bilden. Wir leiten dazu einmal zuerst nach dem z ab und machen dann die y-Ableitung nachfolgend. Das heißt, wir haben hier 6 x^4 y^4. z wird eins, weil wir nach z ableiten plus 2 x y^4 z vom z Quadrat in y Richtung und minus 3 x^2 y^2 z^2 in z-Richtung. Erste Ableitung. Zweite Ableitung: Nach dem y landen wir bei 24 x^4 y^3 in x-Richtung, plus 8 y^3 z in y Richtung und minus 6 x^2 y z^2 in z-Richtung. Das ist unser allgemeiner Vektor K. Die allgemeine Ableitung und wäre eine Antwort auf die obige Frage, nämlich genau diese Ableitung, wie sie oben steht.
Berechnung im konkreten Punkt P Wir können das Ganze jetzt auch eben in dem Punkt P anschreiben, indem wir einfach für x = 1, für y = -2 und für z wiederum 1 einsetzen und wir schreiben das auch dann so her: K Vektor von 1, -2, 1 und setzen entsprechend ein. Multiplizieren gleich alles aus. Das überlasse ich jedem für sich. Und landen bei: 192 Minus in x Richtung, minus 64 in y-Richtung und plus 12 in z-Richtung. Das wäre dann unser zweites Ergebnis im Punkt P. Und so lässt sich jeder beliebige Punkt, den wir gerne berechnen würden, für dieses K bestimmen. Und wie wir anhand des Ergebnisses von K sehen, ist auch K wiederum ein Feld.
Charakteristikum eines Feldes Das heißt, wenn wir einen anderen Punkt einsetzen, dann kommt auch tatsächlich ein anderes Ergebnis heraus und damit ein anderer Vektor an diesem Punkt im Raum. Und das ist das Charakteristikum von einem Feld, von einem Vektorfeld konkret. Und das brauchen wir dann später auch noch. Zum Beispiel bei den Verschiebungen, wenn es darum geht, wie sich ein Körper verformt. Das sehen wir uns aber etwas später dann bei den Materialgesetzen an. Ich hoffe die Vorgehensweise hier war klar. Das Video hat dich weitergebracht. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren stellen. Wenn du noch kein Abonnent, keine Abonnentin bist, bitte das nachholen, um mir zu helfen, die Reichweite des Kanals zu erhöhen. Und ich hoffe wir sehen uns beim nächsten Video wieder und wünsche dir bis dahin alles Gute.
