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Energiesatz: Halbzylinderschale rollt auf Unterlage

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon bei vorhergehenden Beispielen zur Thematik eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die Angabe vermuten lässt.

Eine dünne Halbzylinderschale der Masse m rollt ohne zu rutschen auf einer Ebene. Die Schale wird dabei aus der dargestellten Lage aus der Ruhe losgelassen.

Bestimme mittels Energiesatz:
*die Winkelgeschwindigkeit φ˙(φ) in Abhängigkeit der Lage φ
*den Winkel φ bei dem die Winkelgeschwindigkeit ihr Maximum erreicht.

Die Angabe als Download gibt es hier. Probiere vielleicht zuerst die Lösung selbst zu finden und schaue dir dann erst meine Musterlösung an. Das hilft in der Regel enorm beim Verständnis.

ArbeitEnergie-AE05Herunterladen

Wir haben in diesem Fall jeweils die Energien zum Startzeitpunkt sowie für eine beliebige Winkellage aufzustellen. Dafür benötigen wir zuvor die Winkelgeschwindigkeit der Halbzylinderschale (über das analytische Prinzip einfach errechenbar) sowie auch die Lage des Schwerpunkts. Außerdem wird es am einfachsten sein die kinetische Energie der Rotation zu verwenden, also brauchen wir auch noch das Massenträgheitsmoment der Schale. Ist das alles bestimmt lassen sich die Energieterme einfach hinschreiben und über Energieerhaltung miteinander verknüpfen. Damit erhalten wir direkt einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels selbst. Im Detail sprechen wir wieder im Video über die Lösung. Viel Spaß beim Anschauen!


Es gibt natürlich auch wieder die Musterlösung als pdf – lade es gerne herunter.

AE05Herunterladen

Solltest du fragen haben bitte schreibe gerne hier oder auf YouTube einen Kommentar. Mich interessiert natürlich auch was du generell zu diesem Beispiel und meiner Musterlösung sagst. Gerne jederzeit melden.

Wenn dir die Website und mein YouTube Kanal weiterhelfen, dann lass mir auch gerne ein Abo da und gib die Links an deine Studienkolleg*innen weiter.

Alles Gute, viel Spaß und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Drehkran mit Wagen

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag geht es wieder um einen Klassiker der Relativkinetik, nämlich einen Drehkran mit einem an Seilen geführten Wagen.

Ein Drehkran laut Skizze ist gegeben. Der Wagen (1) darf näherungsweise als Punktmasse m betrachtet werden, deren Ortsvektor r, Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨ gegeben sind, und die zudem abhebesicher und reibungsfrei geführt ist. Der Schwenkarm (2) bewegt sich entlang des Winkels ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨. Die Drehsäule (3) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und der Winkelbeschleunigung Ω˙.

Ges.:
*Die Differenz der Seilkräfte S2−S1.
*Die Kraft des Schwenkarmes auf den Wagen.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R12Herunterladen

Dieses Beispiel ist ziemlich Standard, was den Rechenweg betrifft. Wir müssen uns nur zuerst auf ein Relativsystem festlegen. Zwei offensichtliche Möglichkeiten dafür bespreche ich im Video. Danach stellen wir den Ortsvektor sowie den Vektor der Führungsrotation auf und bestimmen sämtliche Beschleunigungen. Im Anschluss rechnen wir über den Schwerpunktsatz die gesuchten Kräfte aus. Klingt einfach? Ist es im Grunde auch. Die Details zur Rechnung erfahrt ihr wie immer im Video. Wenn ihr lieber zuerst selbst grübelt, könnt ihr natürlich auch gerne den Rechenweg als pdf herunterladen. Viel Spaß mit dem Beispiel!

R12Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg seid ihr herzlich eingeladen einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich jederzeit über Fragen.

Hat euch dieser Beitrag gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Wenn ich euch bei einem konkreten Problem helfen konnte, bitte sagt in den Kommentaren bescheid – ich würde sehr gerne wissen auf welche verschiedenen Arten die Inhalte hier nützlich sind. Abonniert auch unbedingt meinen YouTube-Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Relativkinematik: Eisenbahnkran

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Herzlich Willkommen!

Wir hatten erst vor kurzem das fahrende Feuerwehrauto als Beispiel der Relativkinematik. Ein sehr ähnliches Beispiel wollen wir uns hier ansehen, nämlich einen Eisenbahnkran mit folgender Angabe:

Der Eisenbahnkran lt. Skizze fährt mit der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a in Richtung der positiven y−Achse, während der Ausleger sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 und der Winkelbeschleunigung ω˙1 um die z−Achse dreht. Im gezeichneten Augenblick (Winkellage θ) richtet sich der Ausleger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit θ˙ auf.
Geg.: d = 3m, l = 20m, v = 2m/s, a = 1.5m/s², θ = 30°, ω1 = 0.5 1/s, ω˙1 = 3 1/s², θ˙ = 3 1/s

Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung der Spitze B des Auslegers zum gezeichneten Zeitpunkt.

Quelle: Aufgabe 9.38 (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R13Herunterladen

Wir stellen bei diesem Beispiel einen Ortsvektor auf, der sich am analytischen Prinzip orientiert, d.h. vom Koordinatenursprung 0 bis zum Punkt B reicht. Natürlich lässt sich die Rechnung auch aufsplitten in einen Teil 0-A sowie einen zweiten Teil A-B, aber aus meiner Sicht bietet der direkte Vektor den einfacheren Zugang. Danach müssen wir nur noch Geschwindigkeit und Beschleunigung mittels der bekannten Formeln aus der Relativkinematik bestimmen und sind mit dem Beispiel auch schon fertig. Die genaue Erklärung dazu und auch eine kurze Diskussion über die Praxisrelevanz solcher Berechnungen finden sich wie gewohnt im verlinkten Video!

Den Lösungsweg in Form eines herunterladbaren pdf-Files findet ihr hier.

R13Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Stoß: Projektil trifft auf Scheibe

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Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Stoßbeispiel. Dieses Mal geht es um ein Projektil das auf eine aufgehängte Scheibe auftrifft und in diese eindringt.

Ein Projektil der Masse mP dringt mit der Geschwindigkeit vP in die Mantelfläche einer Scheibe der Masse mS unter dem Winkel α zur Horizontalen ein. Unmittelbar vor dem Stoß befindet sich die Scheibe in Ruhe.

Geg.: mP = 7g, mS = 5kg, vP = 800m/s, r = 0.2m, α = 30°

Ges.:
*die Winkelgeschwindigkeit ω′S der Scheibe unmittelbar nach dem Eindringen des Projektils.
*der Winkel θ um den die Scheibe schwingt bis sie ihren Umkehrpunkt erreicht hat.

Quelle: Aufgabe x.x (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Stoss-S22Herunterladen

In diesem Fall bevorzuge ich die Zerlegung des Systems in Projektil und Scheibe und die Einführung eines inneren Stoßantriebs. So können wir einen Impulssatz für das Projektil anschreiben, das wir als Punktmasse betrachten dürfen. Andererseits lässt sich für die Scheibe ein Drehimpulssatz um das Lager aufstellen. Zusätzlich benötigen wir natürlich noch eine kinematische Bedingungen. Diese ist hier jene des rauen Stoßes, also gleiche Geschwindigkeitsvektoren von Projektil und Eindringpunkt unmittelbar nach dem Stoßvorgang. Damit lässt sich dann die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bestimmen. Schließlich können wir über eine einfach Energiebetrachtung noch den Umkehrpunkt der Schwingung bestimmen. Wie das geht besprechen wir im verlinkten Video im Detail. Viel Spaß damit!

Wie auch schon die letzten Male stelle ich zusätzlich wieder ein pdf mit dem vollständigen Lösungsweg zur Verfügung.

S22Herunterladen

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Relativkinematik: Drehleiter am bewegten Fahrzeug

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinematik an. Es geht dabei um ein Fahrzeug, ein Feuerwehrauto, welches mit einer Drehleiter ausgestattet ist und während der Fahrt die Leiter ausfährt und hochschwenkt. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am Leiterende wollen wir bestimmen.

Auf einem mit der konstanten Geschwindigkeit v0 fahrenden Fahrzeug ist eine Leiter montiert, die so bewegt wird, dass b(t)=2v0t und α(t)=Ωt gilt.

Bestimme die Absolutgeschwindigkeit sowie die Absolutbeschleunigung des Punktes C im raumfesten Koordinatensystem ex, ey.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R08-1Herunterladen

Dieses Beispiel bietet sich an unterschiedliche Zugänge zur Relativkinematik aufzuzeigen. Genau das machen wir hier. Wir sehen uns einerseits an wie sich Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C direkt aus einem Abstandvektor bestimmen lassen und andererseits wie das ganze mittels klassischem Relativkinematik-Zugang funktioniert, also über Relativ- und Führungssystem. Am Ende werden wir feststellen, dass in beiden Fällen das gleiche Ergebnis für die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung entsteht (muss es ja auch, denn der Physik ist schließlich egal wie wir rechnen), die einzelnen Beiträge sich aber unterscheiden. Wie das alles genau geht und worauf zu achten ist besprechen wir im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Wie schon beim letzten Beispiel gibt es auch hier wieder den Lösungsweg als pdf-Download. Ich würde mich über Rückmeldungen freuen ob ihr diese pdfs auch nutzt bzw. plant zu nutzen.

R08Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Energiesatz: Rollendes Rad an Feder (Schwingung)

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon beim letzten Beispiel zu diesem Thema eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die folgende Angabe zeigt.

Ein Rad mit der Masse m und dem Trägheitsradius is rollt ohne zu gleiten. Im entspannten Zustand hat die Feder die Länge l0 und die Federkonstante c. In der skizzierten Position wird das Rad aus der Ruhe freigegeben.
Geg.: m = 60 kg, is = 0.6 m, r = 1 m, l = 3 m, l0 = 0.5 m, c = 10 N/m, β = 60°

Ges.:
*der allgemeine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades, nachdem es sich um den Winkel β im Uhrzeigersinn verdreht hat.
*der Zahlenwert für diese Winkelgeschwindigkeit ω.

Die Angabe gibt es natürlich wie gewohnt hier als Download.

Die Lösung dieses Beispiels ist an sich recht kurz, erfordert aber einige Überlegungen zur Geometrie. So müssen wir uns insbesondere Gedanken darüber machen wie sich die Federlänge in Abhängigkeit von der Rollbewegung des Rades ändert. Wenn das erledigt ist und wir uns für eine Betrachtung am Momentanpol des Rades entscheiden, ist alles weitere schnell aufgeschrieben. Es gibt in diesem Fall nur eine kinetische Energie der Rotation und die potentiellen Energien der Feder zu Beginn und am Ende. Damit lässt sich leicht die Winkelgeschwindigkeit des Rades als Funktion des Drehwinkels bestimmen. Die Details dazu findest du wie gehabt im verlinkten Video.


Ich beginne ab diesem Beispiel auch damit pdf-Dateien des Lösungsweges bereitzustellen. Falls das für dich interessant ist, hinterlasse mir gerne einen Kommentar, dann kann ich gerne auch bei schon besprochenen Beispielen solche pdfs nachreichen.

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Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

Hat euch das Beispiel und die Musterlösung gefallen? Dann lasst bitte unbedingt auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Außerdem freue ich mich über ein Abo meines YouTube Kanals! Ihr helft mir damit enorm. Vielen Dank!

Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Unelastischer Stoß: Punktmasse bleibt in Quader stecken

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Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Eine Masse m2 stößt vollkommen unelastisch mit der Geschwindigkeit v2 gegen eine ruhende Masse m1, die an zwei gleichlangen, masselosen Pendelstützen aufgehängt ist und verbleibt in ihr. Aus dem Maximalausschlag φ=α soll auf die Geschwindigkeit v2 geschlossen werden, wobei die Wirkungslinie von v2 durch den Schwerpunkt von m1 geht.

Ges.:
*Geschwindigkeit der Massen nach dem Stoß.
*Zusammenhang zwischen dem Winkel α der Umkehrlage und v2
*Energieverlust während dem Stoß

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S16Herunterladen

Zur Lösung dieses Beispiels verwenden wir für den Stoßvorgang selbst eine reine Impulsbilanz, die wir für das Gesamtsystem aufstellen. Nachdem es sich um einen zentrischen Stoß handelt, reicht uns diese Impulsbilanz aus um einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß mit jener unmittelbar vor dem Stoß herzustellen. Zur Ermittlung des gesuchten Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit v2 der Punktmasse vor dem Stoß und dem Maximalausschlag der Gesamtmasse danach setzen wir anschließend eine Energieerhaltung an, weil der Schwingvorgang nach dem Stoß ohne Energieverlust passiert. Schließlich können wir den Energieverlust der während des Stoßvorgangs selbst auftritt mittels einer Energiebilanz zwischen den Zeitpunkten unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Die Details und weitere Anmerkungen zum Beispiel findet ihr wie immer im verlinkten Video. Viel Freude dabei!

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Statik: Winkelträger mit Streckenlast

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Herzlich Willkommen!

Wie behandeln wir einen Winkelträger in Kombination mit einer Streckenlast? Im Grund wissen wir das bereits aus vergangenen Beispielen. Wir müssen lediglich die drei Konzepte Gleichgewichtsbedingungen, Streckenlast und Gerberträger miteinander kombinieren. Genau das wollen wir hier tun. Es geht dabei um folgendes Beispiel:

Die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C des Tragwerks aus Balken und Winkelträger sind zu bestimmen.
Geg.: q,l

Quelle: Aufgabe 6.75 (S. 352) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Auch in diesem Fall eines Winkelträgers können wir wie im Beispiel zum Gerberträger besprochen, das System an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte für den oberen und den unteren Teil anschreiben. Für diese beiden Teile lassen sich jeweils die Gleichgewichtsbedingungen (Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht) anschreiben und schließlich alle unbekannten Größen berechnen. Zum Schluss diskutieren wir noch den auftretenden Zweikraftstab zwischen B und C. Den kompletten Rechenweg im Detail findest du wie gewohnt im verlinkten Video! Viel Spaß und aufschlussreiche Erkenntnisse damit!


Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Person auf Platte & Rollen

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.

Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.

Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r

Bestimme:
*die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0.
*die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.

Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R11Herunterladen

Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Statik: Zweifacher Gelenkbalken mit Einspannung

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Wir möchten uns in diesem Beitrag einen 2fachen Gerberträger ansehen, d.h. einen Gelenkbalken mit zwei Gelenken laut folgender Angabe.

An einem Gelenkbalken ist unmittelbar rechts vom Gelenk G1 ein Querarm angeschweißt, der durch ein Kräftepaar belastet wird. Außerdem greift unmittelbar rechts vom Gelenk G2 eine Kraft P an.

Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Gelenkkräfte?
Wie ändern sie sich, wenn die Kraft P unmittelbar links vom Gelenk G2 angreift?

Quelle: Aufgabe I.4.8 (S. 23) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg

Wir können wie schon in den anderen Beispielen zum Gerberträger besprochen, den Träger an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte anschreiben. Hier erhalten wir also drei Einzelteile. Für jedes davon lassen sich die drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Eine Besonderheit hier ist, dass wir sofort sehen, dass es keine Kräfte in Horizontalrichtung geben wird. Wir können also das horizontale Kräftegleichgewicht gleich von Beginn an weglassen. Anschließend sehen wir, dass sich aus den jeweiligen Teilstücken sofort die Unbekannten Größen berechnen lassen, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen. Zumindest dann, wenn die Reihenfolge der Berechnung an den Teilsystemen klug gewählt wird. Zum Schluss besprechen wir noch die Eingangs gestellte Frage: Macht es einen Unterschied ob die äußere Kraft P unmittelbar rechts oder links von G2 liegt. Diese Frage beantworten und natürlich den kompletten Rechenweg im Detail diskutieren wir im verlinkten Video! Ganz viel Spaß damit!


Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.

Vielen Dank und bis bald,
Markus