Kreisel: Rotor in rotierender Gabel

Herzlich Willkommen!

Kreiseldynamik ist derzeit noch eine recht unterrepräsentierte Spezies hier auf der Website. Dies soll sich im Laufe der Zeit ändern, daher gibt es heute wieder einmal ein Kreiselbeispiel mit folgender Angabe.

In einer Gabel, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert, ist ein Rotor gelagert, der sich seinerseits mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωr relativ zur Gabel dreht. Der Rotor besitzt die Hauptträgheitsmomente: Ix = Iy = Iz = I und das Gewicht G. Für die Gabel sind die Abmessungen l1, l2 und l gegeben.

Errechne im gabelfesten xyz−System:
*den Drehimpuls des Rotors bezüglich S.
*die Auflagerkräfte in C und D.
*die Auflagerkräfte in A und B zufolge des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.1 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

Es handelt sich in diesem Fall um ein relativ simples Kreiselbeispiel. Nachdem die Rotationen von Rotor und Gabel normal zueinander stehen ergibt sich ein kompakter Drehimpulsvektor, der wiederum zu einem sehr kompakten Drehimpulssatz führt. Anschließend benötigen wir noch den Schwerpunktsatz als zweite Gleichung, der allerdings auch zum Kräftegleichgewicht wird, weil es keine Schwerpunktsbewegung gibt. Damit lassen sich schon alle vier Lagerreaktionen berechnen. Die Schritt-für-Schritt Erklärung findet ihr im Video. Viel Spaß damit.

Für diejenigen unter euch die wieder lieber lesen als ein Video zu schauen gibt es das pdf der fertigen Rechnung.

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

Stoß: Verkehrsunfall auf nasser Fahrbahn

Herzlich Willkommen!

Heute wollen wir Unfallsachverständige spielen und uns folgende Situation ansehen.

Ein PKW (2) schleudert auf nasser Fahrbahn und bleibt quer stehen. Trotz Vollbremsung, also Rutschen mit Reibungskoeffizient μ1, ab der Entfernung s1 prallt der nachfolgende Wagen (1) zentrisch so stark auf, dass der Wagen (2) um die Strecke s2 weiterrutscht, wobei der Reibungskoeffizient μ2 beträgt. Die Stoßzahl ist mit ϵ gegeben.

Geg.: m1 = 2m2, μ1 = μ2 = 1/3, ε = 0.2, s1 = 50m, s2 = 10m

Berechne
*die Geschwindigkeit v0 des Wagens (1) vor dem Bremsen.
*die Geschwindigkeit v1 des Wagens (1) unmittelbar vor dem Zusammenstoß.

Quelle: Aufgabe 6.4 (S. 145) aus D. Gross et al., Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3, 10. erweiterte Auflage, 2012 Springer-Verlag, Berlin Heidelberg

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Der Lösungsweg ist in diesem Fall recht klar. Wir wissen die Strecken s1 und s2, die Massen und Reibungskoeffizienten der PKWs und eine Stoßziffer. Damit können wir auf die Geschwindigkeit schließen, die der PKW 1 unmittelbar vor dem Zusammenstoß hatte und in weiterer Folge auf die Geschwindigkeit mit der das Bremsmanöver eingeleitet wurde. Wir verwenden dazu den Arbeitssatz für die beiden Strecken, sowie Impulsbilanz und Stoßhypothese für den Stoßvorgang selbst. Auflösen dieser Gleichungssysteme liefert dann die gesuchte Ergebnisse. Wie immer erkläre ich im Video genau worauf es bei der Berechnung ankommt. Viel Spaß damit!

Selbstverständlich gibt es auch wieder den schriftlichen Lösungsweg als Download.

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald und alles Gute,
Markus

Energiesatz: Halbzylinderschale rollt auf Unterlage

Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon bei vorhergehenden Beispielen zur Thematik eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die Angabe vermuten lässt.

Eine dünne Halbzylinderschale der Masse m rollt ohne zu rutschen auf einer Ebene. Die Schale wird dabei aus der dargestellten Lage aus der Ruhe losgelassen.

Bestimme mittels Energiesatz:
*die Winkelgeschwindigkeit φ˙(φ) in Abhängigkeit der Lage φ
*den Winkel φ bei dem die Winkelgeschwindigkeit ihr Maximum erreicht.

Die Angabe als Download gibt es hier. Probiere vielleicht zuerst die Lösung selbst zu finden und schaue dir dann erst meine Musterlösung an. Das hilft in der Regel enorm beim Verständnis.

Wir haben in diesem Fall jeweils die Energien zum Startzeitpunkt sowie für eine beliebige Winkellage aufzustellen. Dafür benötigen wir zuvor die Winkelgeschwindigkeit der Halbzylinderschale (über das analytische Prinzip einfach errechenbar) sowie auch die Lage des Schwerpunkts. Außerdem wird es am einfachsten sein die kinetische Energie der Rotation zu verwenden, also brauchen wir auch noch das Massenträgheitsmoment der Schale. Ist das alles bestimmt lassen sich die Energieterme einfach hinschreiben und über Energieerhaltung miteinander verknüpfen. Damit erhalten wir direkt einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels selbst. Im Detail sprechen wir wieder im Video über die Lösung. Viel Spaß beim Anschauen!


Es gibt natürlich auch wieder die Musterlösung als pdf – lade es gerne herunter.

Solltest du fragen haben bitte schreibe gerne hier oder auf YouTube einen Kommentar. Mich interessiert natürlich auch was du generell zu diesem Beispiel und meiner Musterlösung sagst. Gerne jederzeit melden.

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Alles Gute, viel Spaß und bis bald,
Markus

Lagrange: Kreisscheibe mit Unwucht an Feder

Herzlich Willkommen!

Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Relativkinetik: Drehkran mit Wagen

Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag geht es wieder um einen Klassiker der Relativkinetik, nämlich einen Drehkran mit einem an Seilen geführten Wagen.

Ein Drehkran laut Skizze ist gegeben. Der Wagen (1) darf näherungsweise als Punktmasse m betrachtet werden, deren Ortsvektor r, Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨ gegeben sind, und die zudem abhebesicher und reibungsfrei geführt ist. Der Schwenkarm (2) bewegt sich entlang des Winkels ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨. Die Drehsäule (3) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und der Winkelbeschleunigung Ω˙.

Ges.:
*Die Differenz der Seilkräfte S2−S1.
*Die Kraft des Schwenkarmes auf den Wagen.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Dieses Beispiel ist ziemlich Standard, was den Rechenweg betrifft. Wir müssen uns nur zuerst auf ein Relativsystem festlegen. Zwei offensichtliche Möglichkeiten dafür bespreche ich im Video. Danach stellen wir den Ortsvektor sowie den Vektor der Führungsrotation auf und bestimmen sämtliche Beschleunigungen. Im Anschluss rechnen wir über den Schwerpunktsatz die gesuchten Kräfte aus. Klingt einfach? Ist es im Grunde auch. Die Details zur Rechnung erfahrt ihr wie immer im Video. Wenn ihr lieber zuerst selbst grübelt, könnt ihr natürlich auch gerne den Rechenweg als pdf herunterladen. Viel Spaß mit dem Beispiel!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg seid ihr herzlich eingeladen einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich jederzeit über Fragen.

Hat euch dieser Beitrag gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Wenn ich euch bei einem konkreten Problem helfen konnte, bitte sagt in den Kommentaren bescheid – ich würde sehr gerne wissen auf welche verschiedenen Arten die Inhalte hier nützlich sind. Abonniert auch unbedingt meinen YouTube-Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Relativkinematik: Eisenbahnkran

Herzlich Willkommen!

Wir hatten erst vor kurzem das fahrende Feuerwehrauto als Beispiel der Relativkinematik. Ein sehr ähnliches Beispiel wollen wir uns hier ansehen, nämlich einen Eisenbahnkran mit folgender Angabe:

Der Eisenbahnkran lt. Skizze fährt mit der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a in Richtung der positiven y−Achse, während der Ausleger sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 und der Winkelbeschleunigung ω˙1 um die z−Achse dreht. Im gezeichneten Augenblick (Winkellage θ) richtet sich der Ausleger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit θ˙ auf.
Geg.: d = 3m, l = 20m, v = 2m/s, a = 1.5m/s², θ = 30°, ω1 = 0.5 1/s, ω˙1 = 3 1/s², θ˙ = 3 1/s

Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung der Spitze B des Auslegers zum gezeichneten Zeitpunkt.

Quelle: Aufgabe 9.38 (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Wir stellen bei diesem Beispiel einen Ortsvektor auf, der sich am analytischen Prinzip orientiert, d.h. vom Koordinatenursprung 0 bis zum Punkt B reicht. Natürlich lässt sich die Rechnung auch aufsplitten in einen Teil 0-A sowie einen zweiten Teil A-B, aber aus meiner Sicht bietet der direkte Vektor den einfacheren Zugang. Danach müssen wir nur noch Geschwindigkeit und Beschleunigung mittels der bekannten Formeln aus der Relativkinematik bestimmen und sind mit dem Beispiel auch schon fertig. Die genaue Erklärung dazu und auch eine kurze Diskussion über die Praxisrelevanz solcher Berechnungen finden sich wie gewohnt im verlinkten Video!

Den Lösungsweg in Form eines herunterladbaren pdf-Files findet ihr hier.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Mittels Seil verbundene Zylinder im Schwerefeld

Herzlich Willkommen!

Auch wenn die Methode von Lagrange meist ohne Kräfte auskommt, lassen sich dennoch bei Bedarf auch Kräfte damit berechnen. Wie das funktionieren kann sehen wir uns in diesem Beitrag an.

Zwei homogene Zylinder mit Massen m1, m2 und Radien r1, r2 sind mit einem Faden umwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt im Schwerefeld senkrecht nach unten. Beide Zylinder rollen ohne zu rutschen und spulen dabei Faden ab.

Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenkraft.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich durch reines Abrollen der Zylinder am Seil, eine Zwangsbedingung zwischen den Drehwinkeln und der x-Achse aufstellen lässt. Damit können wir ein der drei Variablen eliminieren und beispielsweise die beiden Winkel als generalisierte Koordinaten verwenden. Anschließend stellen wir wieder kinetische und potentielle Energie auf und schreiben mit deren Hilfe die Lagrangefunktion an. Es ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen, eine für jeden Winkel, die wir dann ineinander einsetzen und damit zwei geschlossene Gleichungen für die Beschleunigungen finden können. Anschließend lässt sich mit wenigen Zusatzüberlegungen (Drallsatz), die Seilkraft aus den Winkelbeschleunigungen bestimmen. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video.

Wer lesen bevorzugt, findet hier auch wieder die vollständige Lösung als pdf, allerdings dann ohne die üblichen Erklärungen zwischen den Zeilen. Diese findet ihr nur im Video.

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Schnittgrößen am gekrümmten Träger

Herzlich Willkommen!

Wir haben uns mittlerweile über die Theorie zu Schnittgrößen unterhalten und uns auch einige Beispiele angesehen und dort Schnittgrößen an speziellen Punkten, Berechnungen des Schnittgrößenverlaufs sowie Schnittgrößen mittels Integration durchgeführt. Was uns in der Sammlung noch fehlt ist die Diskussion von Schnittgrößen am gekrümmten Träger. Dazu sehen wir uns als einfaches Beispiel einen Viertelkreisbogen an, welcher am oberen Ende eingespannt ist.

Ein Viertelkreisbogen wird laut Skizze durch die Kräfte F und P belastet. Berechne die Einspannreaktion in A sowie die Schnittgrößen N(φ), Q(φ), M(φ).

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass es mit dem Winkel φ mit dreht, wobei für φ=0 die ex-Achse nach rechts, die ey-Achse aus der Blattebene heraus und die ez-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Die Berechnung der Einspannreaktionen ist für die konkrete Fragestellung – wie wir später sehen werden – eigentlich gar nicht nötig. Dennoch berechnen wir diese und holen uns damit eine wenig zusätzliche Übung. Dazu bedarf es wieder eines Freikörperbildes und dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Hier sind diese aber so einfach, dass wir sofort die Ergebnisse für die Lagerreaktionen anschreiben können. Effizienz ist schließlich auch wichtig. Danach geht es darum zu besprechen wie das Koordinatensystem sich entlang des Kreisbogens ändert. Das ist deshalb relevant, weil wir damit auch positives und negatives Schnittufer sowie die positiven Richtungen der Schnittgrößen selbst definieren. Ist das erledigt werden noch die Einzelkräfte P und F in Komponenten entlang des gedrehten Koordinatensystems zerlegt und wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Letztere definieren dann in diesem einfachen Fall bereits die Schnittgrößen. Damit sollte auch für komplexere gekrümmte und sogar zusammengesetzte Träger prinzipiell klar sein, wie Schnittgrößen berechnet werden. Die Details und viele kleine Zusatzanmerkungen zur Rechnung findet ihr wie immer im verlinkten Video!


Den vollständigen Lösungsweg als pdf stelle ich auch hier wieder zur Verfügung.

Stellt gerne jederzeit eure Fragen. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei Schnittgrößen am gekrümmten Träger um eine Thematik die vergleichsweise viele Fragen aufwirft. Wie ihr wisst gehe ich jederzeit gerne auf diese Fragen ein.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Schnittgrößen mittels Integration

Herzlich Willkommen!

Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.

Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).
Geg.: q0, l

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!


Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Stoß: Projektil trifft auf Scheibe

Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Stoßbeispiel. Dieses Mal geht es um ein Projektil das auf eine aufgehängte Scheibe auftrifft und in diese eindringt.

Ein Projektil der Masse mP dringt mit der Geschwindigkeit vP in die Mantelfläche einer Scheibe der Masse mS unter dem Winkel α zur Horizontalen ein. Unmittelbar vor dem Stoß befindet sich die Scheibe in Ruhe.

Geg.: mP = 7g, mS = 5kg, vP = 800m/s, r = 0.2m, α = 30°

Ges.:
*die Winkelgeschwindigkeit ω′S der Scheibe unmittelbar nach dem Eindringen des Projektils.
*der Winkel θ um den die Scheibe schwingt bis sie ihren Umkehrpunkt erreicht hat.

Quelle: Aufgabe x.x (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

In diesem Fall bevorzuge ich die Zerlegung des Systems in Projektil und Scheibe und die Einführung eines inneren Stoßantriebs. So können wir einen Impulssatz für das Projektil anschreiben, das wir als Punktmasse betrachten dürfen. Andererseits lässt sich für die Scheibe ein Drehimpulssatz um das Lager aufstellen. Zusätzlich benötigen wir natürlich noch eine kinematische Bedingungen. Diese ist hier jene des rauen Stoßes, also gleiche Geschwindigkeitsvektoren von Projektil und Eindringpunkt unmittelbar nach dem Stoßvorgang. Damit lässt sich dann die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bestimmen. Schließlich können wir über eine einfach Energiebetrachtung noch den Umkehrpunkt der Schwingung bestimmen. Wie das geht besprechen wir im verlinkten Video im Detail. Viel Spaß damit!

Wie auch schon die letzten Male stelle ich zusätzlich wieder ein pdf mit dem vollständigen Lösungsweg zur Verfügung.

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus